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ザ計算力

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SourceCodeOf_HumanGenome > 解答(その19) @ 2010/12/29 17:16
解答(その18)の末尾の式を計算するために、
σ'(M,N) ≡ Σk=0M (-1)k MCk kN
を計算する。

M≧2では、
σ'(M,1) = Σk=0M (-1)k MCk k
 = Σk=1M (-1)k MCk k = (d/dx)Σk=0M MCk xk |x=1
 = (d/dx)(1-x)M|x=1 = -M(1-x)M-1|x=1 = 0
σ'(M,N+1) = Σk=0M (-1)k MCk kN+1
= Σk=1M (-1)k MCk kN+1
= Σk'=0M-1 (-1)k'+1 MCk'+1 (k'+1)N+1
ここで
MCk'+1 (k'+1) = (k'+1)M!/[(k'+1)!(M-k'-1)!] = M(M-1)!/[k'!(M-1-k')!] = M M-1Ck'
を使うと、
σ'(M,N+1) = -M Σk'=0M-1 (-1)k' M-1Ck' (k'+1)N
この式に
(k'+1)N = 1 + Σr=1N NCr k'r (k'=0の場合についても考えるのでr=0の項を分けて書いた)
を代入すると、
σ'(M,N+1) = -M Σk'=0M-1 (-1)k' M-1Ck' (1 + Σr=1N NCr k'r)
= - M Σk'=0M-1 (-1)k' M-1Ck' -M Σr=1N NCr σ'(M-1,r)
ここで
Σk'=0M-1 (-1)k' M-1Ck' = (1+x)M-1|x=-1 = 0
を使うと、
σ'(M,N+1) = -M Σr=1N NCr σ'(M-1,r)
この式を2次元的な漸化式の様なものと見なし、
σ'(M,1) = 0 (M≧2)
を使うと、
σ'(M,N) = 0 (M≧N+1≧2)
だと分かる。
---
最終更新日時2011/03/04/10:24JST
SourceCodeOf_HumanGenome > 解答(その20) @ 2010/12/30 10:59
解答(その19)の結果を解答(その18)の式に代入すると、

n≧n'≧3では、
Π1(n,n') - n'Π1(n-1,n'-1) = Σk=2n' (-1)n'-k n'Ck [n'kn-1 + k2 - (n'+1)k]
= Σk=0n' (-1)n'-k n'Ck [n'kn-1 + k2 - (n'+1)k] - Σk=01 (-1)n'-k n'Ck [n'kn-1 + k2 - (n'+1)k]
= (-1)n'[n'σ'(n',n-1) + σ'(n',2) -(n'+1)σ'(n',1)] ∵Σk=01 (-1)n'-k n'Ck [n'kn-1 + k2 - (n'+1)k] = 0
= (-1)n'n'σ'(n',n-1) ∵σ'(n',2)=0,σ'(n',1)=0

σ'(n',2)=0,σ'(n',1)=0の成立は、
解答(その19)の結果:
σ'(M,N) = 0 (M≧N+1≧2)
にM=n',N=1,2を代入する事によって、分かります。

---
最終更新日時2011/03/09/10:42JST
SourceCodeOf_HumanGenome > 解答(その21) @ 2010/12/30 11:16
解答(その20)と解答(その18)の結果を解答(その15)の式に代入すると、

n≧365の場合には、
(挙手者数の期待値) = (n/365nn'=1365 365Cn'1(n,n') - n'Π1(n-1,n'-1)]
= (n/365n)[365 + 365C2 (2n-4) + Σn'=3365 365Cn' (-1)n'n'σ'(n',n-1)]
= (n/365n)[365 + (365364/2)(2n-4) + Σn'=3365 365Cn' (-1)n'n'Σk=0n' (-1)k n'Ck kn-1]
= (n/365nn'=1365 365Cn' (-1)n'n'Σk=0n' (-1)k n'Ck kn-1
= (n/365nn'=1365 365Cn' (-1)n'n'Σk=1n' (-1)k n'Ck kn-1
ここで、
365Cn' n'Ck = {365!/[n'!(365-n')!]}{n'!/[k!(n'-k)!]}
= 365!/[(365-n')!k!(n'-k)!] = {365!/[k!(365-k)!]}{(365-k)!/[(365-n')!(n'-k)!]}
= 365Ck 365-kCn'-k
および、
Σn'=1365 Σk=1n' = Σk=1365 Σn'=k365
を使うと、
(挙手者数の期待値) = (n/365nk=1365 365Ck (-1)k kn-1 Σn'=k365 365-kCn'-k (-1)n'n'
ここで、k≦363では、
Σn'=k365 365-kCn'-k (-1)n'n' = (-1)k Σn'-k=0365-k 365-kCn'-k (-1)n'-k(n'-k) + k (-1)k Σn'-k=0365-k 365-kCn'-k (-1)n'-k
= (-1)k σ'(365-k,1) + k (-1)k (1+x)365-k|x=-1
= (-1)k σ'(365-k,1)
= 0 ∵365-k≧2[解答(その19)参照]
を使うと、
(挙手者数の期待値) = (n/365n)[365C364 (-1)364 364n-1 Σn'=364365 365-364Cn'-364 (-1)n'n'
                     + 365C365 (-1)365 365n-1 Σn'=365365 365-365Cn'-365 (-1)n'n']
= (n/365n)[365364n-1(364-365)-365n-1(-365)]
= (n/365n)[-365364n-1 + 365n]
= n[1 - (364/365)n-1]

2≦n≦365の場合には、
(挙手者数の期待値) = (n/365nn'=1n 365Cn'1(n,n') - n'Π1(n-1,n'-1)]
= (n/365n)[365 + 365C2 (2n-4) + Σn'=3n 365Cn' (-1)n'n'σ'(n',n-1)]
= (n/365nn'=1n 365Cn' (-1)n'n'σ'(n',n-1) ∵σ'(1,n-1)=-1,σ'(2,n-1)=2n-1-2[解答(その19)参照]
ここで
σ'(n',n-1) = 0 (n'≧n≧2)
を使うと、
Σn'=1n を Σn'=1365 に書き換えても計算結果は変わらない事が分かる。
したがって、
(挙手者数の期待値) = (n/365nn'=1365 365Cn' (-1)n'n'σ'(n',n-1)
以下、n≧365の場合と同様にして、
(挙手者数の期待値) = n[1 - (364/365)n-1]

n=0の場合とn=1の場合には挙手者数は必ずゼロに成るので、挙手者数の期待値はゼロだ。
一方、n=0の場合とn=1の場合には n[1 - (364/365)n-1]=0
従って、n=0の場合とn=1の場合も、
(挙手者数の期待値) = n[1 - (364/365)n-1]

以上をまとめると、全ての非負整数nに対して、
(挙手者数の期待値) = n[1 - (364/365)n-1]
---
最終更新日時2011/03/09/10:34JST
SourceCodeOf_HumanGenome > この問題の背景 @ 2011/1/4 10:52
以下は、当時の私の「物理とともに」への投稿の一つです。

この問題が怨念によって埋もれさせられている、という意味ではない。
私が解き始めた時には既に埋もれていた。
この問題についての一連の投稿の事を私は、怨念の歴史、と呼んでいます。
SourceCodeOf_HumanGenome > 解答(その7)の資料 @ 2011/1/18 9:33
参考までに、解答(その7)の計算を初めて行なった当時の資料を以下に掲載しておく。
番号の付け方が解答(その7)と若干違う事、に気を付けて下さい。


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最終更新日時2011/01/18/09:36JST
SourceCodeOf_HumanGenome > 解答(その9)の資料 @ 2011/1/30 10:10

SourceCodeOf_HumanGenome > 解答(その2)の資料 @ 2011/1/31 11:04

SourceCodeOf_HumanGenome > 解答(その12)の資料 @ 2011/2/1 15:02

SourceCodeOf_HumanGenome > 解答(その16)の資料 @ 2011/2/4 11:32

SourceCodeOf_HumanGenome > 他者から聞いたシンプルな解法 @ 2011/2/5 10:13
誰かからメールで教えてもらった解法は次の様なものだった、と思う。

n人の中の1人に着目した時、その人が手を挙げないのは、他のn-1人の誕生日が全て、その人の誕生日と異なる場合で、そうなる確率は(364/365)n-1だ。

したがって、その人が手を挙げる確立は1-(364/365)n-1だ。

その様な人がn人いるのだから、挙手者数の期待値は、n[1-(364/365)n-1]だ。

これに対して私は、各人が手を挙げるか挙げないかは互いに独立ではないので、一人が手を挙げる確率に単純にnを掛けてはいけないのではないか、と聞き返した。

教えてくれた人も、その点については分からない、との事だった。

因みに、この人とのやり取りは、険悪な雰囲気には成らなかった、つもりだ。

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最終更新日時2011/02/06/10:52JST

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